Separably closed fields and contractive Ore modules

We consider valued fields with a distinguished contractive map as valued modules over the Ore ring of difference operators. We prove quantifier elimination for separably closed valued fields with the Frobenius map, in the pure module language augmented with functions yielding components for a p-basis and a chain of subgroups indexed by the valuation group

Anneaux p-adiquement clos et anneaux de fonctions définissables

Nous considérons des théories d'anneaux locaux reliées aux corps p-adiques, p un nombre premier. Dans le §1 nous établissons les axiomatisations données dans [B1], ainsi qu'une autre axiomatisation des anneaux apparaissant dans [R1]. Il s'agit d'anneaux locaux henséliens dont le corps résiduel est élémentairement équivalent à une extension finie d'un corps p-adique. Nous les appelons anneaux locaux p-adiquement clos. Dans le contexte de [R1] et [B1] ils apparaissent comme fibres du faisceau structural (aussi appelé faisceau de Nash dans [BS]) accompagnant les spectres p-adiques. L'intérêt de nos axiomatisations provient de la simplicité des axiomes qui rendent compte des propriétés henséliennes. Dans le §2 nous donnons une axiomatisation d'une théorie d'anneaux locaux qui apparaît naturellement dans le contexte de la théorie des modèles des corps valués, et se trouve être une complétion d'une théorie du §1. Nous appelons ces anneaux, anneaux intègres p-adiquement clos.\ud \ud Dans le §3 nous utilisons §2 pour montrer que les anneaux intègres p-adiquement clos apparaissent aussi comme anneaux quotients d'anneaux de fonctions continues définissables sur les courbes affines p-adiques. Nous représentons alors un idéal premier comme le noyau d'un morphisme d'évaluation en un point non-standard de la courbe. Le spectre p-adique fournit un outil commode qui permet de décrire la situation de façon concise

Panorama of p-adic model theory

ABSTRACT. We survey the literature in the model theory of p-adic numbers since\ud Denef’s work on the rationality of Poincaré series. / RÉSUMÉ. Nous donnons un aperçu des développements de la théorie des modèles\ud des nombres p-adiques depuis les travaux de Denef sur la rationalité de séries de Poincaré,\ud par une revue de la bibliographie

Pseudovaluation domains with Vapnik-Chervonenkis classes of definable sets

Abstract. We use model-theoretic methods to give examples of pseudovaluation domains with Vapnik-Chervonenkis classes of definable sets

Les vecteurs de Witt et l'algèbre universelle, d'après Joyal

Résumé. L'algèbre universelle et la théorie des catégories donnent un éclairage\ud particulier sur l'anneau des vecteurs de Witt. Je vais illustrer ces idées à l'aide de\ud l'exemple plus familier de l'anneau des séries formelles, en faisant le parallèle avec\ud les vecteurs de Witt. Je ferai un rappel des notions utilisées sur les catégories. On\ud peut dire que l'idée essentielle est que le foncteur « anneau des vecteurs de Witt » \ud est un foncteur adjoint.\ud ABSTRACT. Universal algebra and category theory shed some light on the ring of Witt\ud vectors. I illustrate these ideas with the more familiar example of formal power\ud series ring, while drawing the parrallel with Witt vectors. I recall the appropriate\ud notions from categories. One can say that the essential idea is that the Witt vector functor is an adjoint

Le théorème de Macintyre, un théorème de Chevalley p-adique

RÉSUMÉ. Nous exposons une démonstration du théorème de A. Macintyre sur la structure des ensembles algébriquement définissables dans les corps p-adiques en illustrant des techniques élémentaires de théorie des modèles.\ud ABSTRACT. We illustrate elementary methods from model theory through a proof of A.\ud Macintyre’s theorem on the structure of algebraically definable subsets of p-adic space

Types dans les corps valués munis d'applications coefficients

ABSTRACT. We transpose Delon’s analysis of types in valued fields to unramified henselian valued fields\ud of mixed characteristic, by using coefficient maps of order n. This yields the Ax-Kochen-Ershov transfer\ud principle for the independence property in this class of valued fields